Halaman
LINGKARANSejak zaman Babilonia, manusia sudahterkagum-kagum oleh bangun matematikayang dinilai sebagai bentuk yang sempurna,yaitu lingkaran. Kita semua pasti tidak asinglagi dengan beragam lingkaran. Lingkaranterjadi secara alami di alam semesta, mulaidari riak air sampai lingkar cahaya bulan. Dialam, lingkaran sering kali terbentuk apabilapermukaan datar dipengaruhi oleh suatu gayayang bekerja merata ke segala arah.Misalnya, saat sebuah kelereng jatuh kedalam air dan menghasilkan gelombang yangmenyebar rata ke segala arah sebagaiserangkaian riak yang berbentuk lingkaran.Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran;dapat menemukan nilai phi;dapat menentukan rumus serta menghitung keliling dan luas lingkaran;dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadapbusur yang sama;dapat menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busuryang sama;dapat menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng;dapat menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juringdalam pemecahan masalah.Sumber:Jendela Iptek, 20016Kata-Kata Kunci:unsur-unsur lingkarankeliling dan luas lingkaransudut pusat dan sudut kelilingpanjang busur, luas juring, dan luas tembereng
138Matematika Konsep dan Aplikasinya 2xACBOxDGambar 6.2Di tingkat sekolah dasar, kalian telah diperkenalkan denganbangun lingkaran. Coba kalian ingat kembali materi tersebut.Agar kalian mudah memahami materi pada bab ini, kalianharus menguasai mengenai sudut, segitiga, dan faktorisasi sukualjabar.A. LINGKARAN DAN BAGIAN-BAGIANNYA1. Pengertian LingkaranDalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda-bendayang permukaannya berbentuk lingkaran, seperti tampak padaGambar 6.1 berikut.Gambar 6.1Dari Gambar 6.1 di atas, apakah yang dapat kalian ceritakanmengenai lingkaran? Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsurlingkaran?Agar kalian memahami pengertian lingkaran, perhatikanGambar 6.2 di samping.Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakantempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatutitik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkarandan titik tertentu disebut pusat lingkaran.Gambar 6.2 di samping menunjukkan titik A, B, C, dan D yangterletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehingga OA=OB = OC = OD = jari-jari lingkaran (r). Titik O disebut pusatlingkaran.Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.3 di samping.Panjang garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuklingkaran tersebut disebut keliling lingkaran, sedangkan daeraharsiran di dalamnya disebut bidang lingkaran atau luaslingkaran.xGambar 6.3(Menumbuhkankreativitas)Perhatikan lingkungandi sekitarmu. Temukan5 buah bendaberbentuk lingkaran.Rabalah permukaanbenda-benda tersebut.Menurutmu, unsur-unsur apa sajakahyang menyusunsebuah lingkaran?Ceritakan temuanmusecara singkat didepan kelas.
139Lingkaran2. Bagian-Bagian LingkaranPerhatikan Gambar 6.4 di samping agar kalian mudah memahamimengenai unsur-unsur lingkaran.–Titik O disebut titik pusat lingkaran.–OA,OB,OC, dan OD disebut jari-jari lingkaran, yaitu garisyang menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik pada kelilinglingkaran.–AB disebut garis tengah atau diameter, yaitu ruas garis yangmenghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melaluipusat lingkaran. Karena diameter AB = AO + OB, di manaAO = OB = jari-jari (r) lingkaran, sehinggadiameter (d) = 2 u jari-jari (r) atau d= 2r.–AC disebut tali busur, yaitu ruas garis yang menghubungkandua titik pada keliling lingkaran.–OEA tali busur BD dan OFAtali busur AC disebutapotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusatlingkaran.–Garis lengkung pAC,pBC, dan pAB disebut busur lingkaran,yaitu bagian dari keliling lingkaran. Busur terbagi menjadi dua,yaitu busur besar dan busur kecil (Gambar 6.5).1.Busur kecil/pendek adalah busur AB yang panjangnyakurang dari setengah keliling lingkaran.2.Busur besar/panjang adalah busur AB yang lebih darisetengah keliling lingkaran.–Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari, OC dan OB sertabusur BC disebut juring atau sektor. Juring terbagi menjadidua, yaitu juring besar dan juring kecil (Gambar 6.6).–Daerah yang dibatasi oleh tali busur AC dan busurnya disebuttembereng. Gambar 6.7 menunjukkan bahwa terdapattembereng kecil dan tembereng besar.xABbusur besarbusur kecilGambar 6.5xABCDOEbusurtemberengtalibusurjuringapo-temaFGambar 6.4 Gambar 6.6xCBjuring keciljuring besarOGambar 6.7tembe-rengbesartembe-rengkecilAC(Menumbuhkan inovasi)Sediakan sebuah jam weker. Anggaplah titik pertemuan antara ja-rum menit dan jarum detik sebagai titik pusat lingkaran.Tunjukkan unsur-unsur lingkaran dengan menggunakan jam we-ker tersebut. Ceritakan secara singkat di depan kelas.
140Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.xABCDEOFxxx(a)(b)(c)xx(d)(e)1. Pada gambar di bawah ini sebutkan garisyang merupakana . jari-jari,b. garis tengah,c. tali busur,d. apotema.2. Disebut apakah daerah arsiran yang di-tunjukkan pada gambar berikut?3. Sebutkan nama unsur-unsur lingkaranyang ditunjukkan oleh nomor 1, 2, 3, 4,dan 5 pada gambar di bawah ini.xO123454. Benar atau salahkah pernyataan berikut?a. Lingkaran adalah tempat kedudukantitik-titik yang berjarak sama darisuatu titik tertentu.b. Jari-jari suatu lingkaran saling ber-potongan di satu titik.c. Garis tengah merupakan tali busuryang terpanjang.d. Tembereng adalah daerah yang diba-tasi oleh dua jari-jari dan tali busur.B. KELILING DAN LUAS LINGKARANPernahkah kamu mengamati gerak sebuah roda sepeda?Untuk mengetahui pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambilroda sebuah sepeda. Tandai pada bagian tepi lingkaran denganhuruf A. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik Akembali ke titik A lagi. Lintasan yang dilalui roda dari A sampaikembali ke A lagi disebut satu putaran penuh atau satu kelilinglingkaran. Sebelum kita menghitung keliling lingkaran, kita akanmencoba menemukan nilai S (pi).1. Menemukan Pendekatan Nilai SSSSS (pi)Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatannilaiS (pi).
141LingkaranLingkaranDiameter KelilingKelilingDiameterBerjari-jari 1 cm............Berjari-jari 1,5 cm............Berjari-jari 2 cm............Berjari-jari 2,5 cm............Berjari-jari 3 cm............KEGIATANa. Buatlah lingkaran dengan jari- jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm,dan 3 cm.b. Ukurlah diameter masing-masing lingkaran denganmenggunakan penggaris.c. Ukurlah keliling masing-masing lingkaran menggunakanbantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagiantepi lingkaran, dan kemudian panjang benang diukurmenggunakan penggaris.d. Buatlah tabel seperti di bawah ini dan hasil pengukuran yangtelah kamu peroleh isikan pada tabel tersebut.Coba bandingkan hasil yang kalian peroleh dengan hasil yangdiperoleh teman-temanmu. Apa yang dapat kalian simpulkan?Apakah kamu mendapatkan nilai perbandingan antara keliling dandiameter untuk setiap lingkaran adalah sama (tetap)?Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan telitimaka nilai kelilingdiameterakan memberikan nilai yang mendekati 3,14.Untuk selanjutnya, nilai kelilingdiameter disebut sebagai konstantaS(S dibaca: pi).SKelilingDiameterCoba tekan tombol S pada kalkulator. Apakah kalianmendapatkan bilangan desimal tak berhingga dan tak berulang?Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilanganpecahan. Oleh karena itu, S bukan bilangan pecahan, namunbilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan(Menumbuhkankreativitas)Dengan adanya tek-nologi komputer, nilaiS dapat dicari sampaipuluhan tempatdesimal.Coba carilah nilai Sdengan menggunakankomputer di sekolah-mu. Mintalah petunjukgurumu.Ceritakan pengala-manmu secara sing-kat di depan kelas.
142Matematika Konsep dan Aplikasinya 2dalam bentuk pecahan biasa ab. Bilangan irasional berupa desimaltak berulang dan tak berhingga.Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai S = 3,14 1592 65358979324836 ...Jadi, nilai S hanyalah suatu pendekatan.Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitiansampai dua tempat desimal, pendekatan untuk S adalah 3, 14.Coba bandingkan nilai Sdengan pecahan 227. Bilanganpecahan227 jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah3,142857143. Jadi, bilangan 227dapat dipakai sebagai pendekatanuntuk nilai S.223,14 atau7S2. Menghitung Keliling LingkaranPada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa padasetiap lingkaran nilai perbandingan (K)()kelilingdiameter d menunjukkanbilangan yang sama atau tetap disebut S.KarenaKSd, sehingga didapat K = S d.Karena panjang diameter adalah 2 u jari-jari atau d= 2r, makaK = 2S r.Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) ataujari-jari (r) adalahKSd atau K2SrUntuk memudahkandalam menyelesaikansoal yang berkaitandengan jari-jari ataudiameter lingkaran,gunakan–227S, jika jari-jariatau diameternyakelipatan 7;–S = 3,14 jika jari-jariatau diameternyabukan kelipatan 7.
143LingkaranHitunglah keliling lingkaranjika diketahuia. diameter 14 cm;b. jari-jari 35 cm.Penyelesaian:a.d= 14 cm sehingga K2214744S udJadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.b.r = 35 cm sehingga K2222357220S uurJadi, keliling lingkaran = 220 cm.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Sediakan mata uang logam Rp100,00,Rp200,00, dan Rp500,00. Ukurlahpanjang diameter dan keliling mata uangtersebut. Buatlah tabel seperti berikut danisikan hasil pengukuranmu pada tabeltersebut.Dari tabel tersebut, tentukan nilai Ssampai tiga tempat desimal.2. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahuia. jari-jari 49 m;f. diameter 70 cm;b. jari-jari 21 m;g. diameter 2,8 cm;c. jari-jari 5 cm;h. diameter 15 m;d. jari-jari 12 cm;i. diameter 50 m;e. jari-jari 10,5 cm; j. diameter 2,4 cm;3. Hitunglah panjang tali yang diperlukanuntuk melilitkan sebuah drum berjari-jari3 cm sebanyak lima putaran.4. Hitunglah keliling daerah yang diarsirpada gambar berikut.28 cm14cm10 cm(i)(ii)21 cm21cm10 cm(iii)(iv)Mata uang Diameter KelilingKelilingDiameterRp100,00............Rp200,00............Rp500,00............
144Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 5. Ali ke sekolah naik sepeda menempuhjarak 706,5 m. Ternyata sebuah rodasepedanya berputar 500 kali untuksampai ke sekolah.a. Hitunglah panjang jari-jari roda.b. Tentukan keliling roda itu.Catatan:Gunakan kalkulator untuk membantumu mengerjakansoal di atas.3. Menghitung Luas LingkaranUntuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatandengan langkah-langkah berikut.a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm.b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian samabesar dan arsir satu bagian.c. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian samabesar dengan cara membuat 12 juring sama besardengan sudut pusat 30o (Gambar 6.8 (i)).d. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi duasama besar.e. Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut.f. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juringsehingga membentuk gambar mirip persegi panjang,seperti pada Gambar 6.8 (ii) di samping.Berdasarkan Gambar 6.8 (ii), diskusikan dengan temansebangkumu untuk menemukan luas lingkaran. Hasilnyabandingkan dengan uraian berikut.(i)Gambar 6.8(ii)Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhinggabanyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusunseperti Gambar 6.8 (ii) maka hasilnya akan mendekati bangunpersegi panjang.Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjangtersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran3,14 10 cm 31, 4 cmu dan lebarnya sama dengan jari-jari ling-karan (10 cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm= luas persegi panjang dengan p= 31,4 cm dan l = 10 cm.=pul= 31,4 cm u 10 cm= 314 cmKEGIATAN
145LingkaranDengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkarandengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjangSr dan lebar r, sehingga diperoleh2LLSS urrrKarena12rd, maka 2221L2141L4SSS§· ̈ ̧©¹§· ̈ ̧©¹dddJadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jari-jariratau diameter d adalah2LSr atau 21L4SdHitunglah luas lingkaranjikaa. jari-jarinya 7 cm;b. diameternya 20 cm.Penyelesaian:a. jari-jari = 7 cm, maka r = 72L22777154S uurJadi, luas lingkaran = 154 cm2.b. diameter = 20 cm, maka d = 2021L413,14 20 20413,14 4004314S u uu uudJadi, luas lingkaran = 314 cm2.(Menumbuhkankreativitas)Carilah 4 buah bendadi sekitarmu yangberbentuk lingkaran.Ukurlah kelilingbenda-benda tersebutmenggunakan be-nang. Kemudian, lu-ruskan benang terse-but pada penggarisuntuk memperolehkelilingnya. Denganmenggunakan rumuskeliling, hitunglah pan-jang jari-jari atau dia-meternya.Kemudian, hitunglahluas setiap benda ter-sebut. Gunakan kalku-lator untuk membantupekerjaanmu.
146Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Hitunglah luas daerah lingkaran denganpanjang jari-jari berikut ini.a. 21 cmd. 70 mb. 25 cme. 3,5 mc. 49 cm2. Hitunglah luas daerah lingkaran dengandiameter berikut ini.a. 50 md. 25 cmb. 1,4 me. 18 cmc. 35 m3. Tentukan luas daerah arsiran pada ba-ngun berikut.14 cm10 cm10cm (a) (b)10 cm10cm7 cm14 cm(c)(d)4. Dua buah lingkaran berjari-jari 5 cm dan15 cm. Hitunglah perbandingana. kedua kelilingnya;b. selisih kelilingnya;c. kedua luasnya;d. selisih luasnya.5. Di pusat sebuah kota rencananya akandibuat sebuah taman berbentuk lingkarandengan diameter 56 m. Di dalam tamanitu akan dibuat kolam berbentuk lingkaranberdiameter 28 m. Jika di luar kolamakan ditanami rumput dengan biayaRp6.000,00/m2, hitunglah seluruh biayayang harus dikeluarkan untuk menanamrumput tersebut.Sebuah satelit mempunyai kecepatan edar 7 .500 km/jam danmengorbit mengelilingi bumi selama 6 jam dalam satu putaranpenuh. Jika jari-jari bumi 6.400 km, tentukana. panjang lintasan satelit tersebut;b. jarak satelit ke pusat bumi;c. tinggi lintasan satelit dari permukaan bumi.4. Menghitung Perubahan Luas dan Kelili ng LingkaranJika Jari-Jari BerubahPada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajarimengenai luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) = 2214SSrddan keliling (K) = 2SSrd. Apabila nilai r atau d kita ubah,
147Lingkaranmaka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan.Bagaimana besar perubahan itu? Perhatikan uraian berikut.Misalkan lingkaran berjari-jari r1, diperbesar sehingga jari-jarinya menjadi r2, dengan r2 > r1. Jika luas lingkaran semula adalahL1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalahL2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah2221 212221212 1LLSSSS rrrrrrrrJika keliling lingkaran semula adalah K1 dan keliling setelahmengalami perubahan jari-jari adalah K2 maka selisih keliling kedualingkaran adalah212121KK2 22SSS rrrrKalian juga dapat menghitung perbandingan luas dan kelilinglingkaran jika jari-jari berubah.Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut.L2 : L122212221::SSrrrrAdapun perbandingan kelilingnya adalahK2 : K121212:2:SSrrrrDari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jarir1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 denganr2 > r1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagaiberikut.L2 – L1 = 2121SrrrrK2 – K1 = 212SrrL2 : L1 = r22 : r12K2 : K1 = r2 : r1(Menumbuhkaninovasi)Diskusikan denganteman sebangkumu.Misalkan lingkaranberjari-jarir1 diperke-cil sehingga jari-jarinya menjadi r2denganr2 < r1.Hitunglah selisihserta perbandinganluas dan keliling ke-dua lingkaran terse-but. Buatlah kesim-pulannya. Kemukakanhasilnya secara sing-kat di depan kelas.
148Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Hitunglah selisih serta per-bandingan luas dan kelilinglingkaran yang berjari-jari2 cm dan 4 cm.Penyelesaian:Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r1 = 2.Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r2 = 4.x) Selisih luas 21212 12LL42422612 cmSSSS uurrrrx) Selisih keliling 2121KK22 424 cmSSS rrx) Perbandingan luas 21222122L :L:4 :216 : 44 :1rrx) Perbandingan keliling 2121K :K:4:22 :1rrKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Diketahui suatu lingkaran berjari-jari rcm. Hitung selisih serta perbandinganluas dan keliling lingkaran jika jari-jarinyadiubah menjadia. dua kalinya;b. (r + 2) cm.2. Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula7 cm. Hitunglah selisih dan perbandinganluas lingkaran setelah jari-jarinyaa. diperbesar tiga kalinya;b. diperkecil 12 kalinya.
149Lingkaran3. Perbandingan luas dua buah lingkaranadalah 36 : 64. Hitunglaha . perbandingan keliling kedua lingkaran;b. selisih keliling kedua lingkaran;c . perbandingan jari-jari kedua lingkaran;d. selisih jari-jari kedua lingkaran.4. Jari-jari dua buah lingkaran masing-masing adalah a cm dan 3a cm. Jikajumlah panjang jari-jari kedua lingkaranitu 28 cm, tentukana. nilai a;b. perbandingan luas dan kelilingnya;c. selisih luas dan kelilingnya.C. HUBUNGAN ANT ARA SUDUT PUSA T,PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING1. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur , dan Luas Ju-ringSudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jariyang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada Gambar 6.9 disamping, AOB = D adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkungAB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB.Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubunganantara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuahlingkaran.Untuk menentukan hubungan antara sudut pusat, panjangbusur, dan luas juring lakukan kegiatan berikut.KEGIATANABOGambar 6.9 1. Buatlah lingkaran dengan pusat di O berjari-jari 5 cm. 2. Pada lingkaran tersebut buatlah sudut pusat AOB= 30o dan COD = 60o(Gambar 6.10 (i)). 3. Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat danpanjang busur, ukurlah pAB dan pCD denganmenggunakan benang. Bagaimana hubungan panjangpAB dan pCD? 4. Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat danluas juring, jiplaklah juring OAB dan potong sekelilingjuring OAB. Kemudian ukurlah juring OCD denganmenggunakan juring OAB (Gambar 6.10 (ii) dan (iii)).Apakah besar juring OCD dua kali besar juring OAB?5. Tentukan besar perbandingan antara kedua sudutpusat, panjang kedua busur, dan luas kedua juring.Apakah menghasilkan perbandingan yang sama?Gambar 6.10CDOABO30o60oABCDO30o60o(i)(ii) (iii)
150Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Jika kegiatan ini kalian lakukan dengan teliti maka akandiperoleh bahwapqpanjang ABluas juring OABbesar AOB 1.besar CODluas juring OCD2panjang CDPanjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbandinglurus dengan besar sudut pusatnya.Sekarang perhatikan Gambar 6.11 (i). Dari gambar tersebutdiperolehpqpanjang ABluas juring OABbesar AOB .besar CODluas juring OCDpanjang CDSekarang, misalkan COD = satu putaran penuh = 360o makakeliling lingkaran = 2Sr, dan luas lingkaran = Sr2 dengan rjari-jari,akan tampak seperti Gambar 6.11 (ii), sehingga diperoleho2AOBpanjang ABluas juring OAB2360SSrrDengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juringAB, dan luas tembereng AB pada Gambar 6.11 adalahpanjang busur AB 2360DSuqrluas juring OAB 2360DSuqrluas tembereng AB = luas juring OAB – luas ' AOB.Perhatikan Gambar 6.12.Diketahui panjang jari-jariOA = 10 cm. Jika besarAOB = 60o, hitunglaha. panjang pAB;b. luas juring OAB;c. luas tembereng AB.Penyelesaian:a.pAOBPanjang AB2360602 3,14 10360162, 8610, 47 cmSuqq uu uq urb.22AOBluas juring OAB360603,14 10360Suqq uuqrABOGambar 6.12ABCDODGambar 6.11(i)(ii)ABC/DODr
151Lingkaran21314652, 33 cm uc. Karena besar AOB = 60o, maka 'AOB sama sisidengan panjang sisi 10 cm, sehingga1keliling segitiga212110 10 102130 152 u u sabc2luas AOB15 15 10 15 10 15 1015 5 5 51.87543, 30 cm' ss a s b s cluas tembereng AB = luas juring OAB – luas ' AOB= (52,33 – 43,30) cm2= 9,03 cm2.2. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Hu-bungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas JuringHubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juringdapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitandengan materi tersebut. Pelajari contoh berikut.Perhatikan gambar berikut.PQRO45o Gambar 6.13Penyelesaian:a. Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusatdan panjang busur berikut.ppbesar POQpanjang PQ, sehingga diperolehbesar QORpanjang QR
152Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Pada gambar di atas,diketahui panjang busurPQ = 16,5 cm, panjangbusur QR = 22 cm, danbesar POQ = 45o.a. Hitunglah besarQOR.b. Hitunglah panjang jari-jari OP.c. Tentukan luas juringOPQ dan OQR.ooooo4516, 5besar QOR22334522245334444 456033xxx u Jadi, besar QOR = 60o.b.pooobesar QORPanjang QR = 2360602222236071222226722 6 7212 22rrrrSu uu u uu uuuuJadi, panjang jari-jari OP = 21 cm.c.2ooo22ooo2 POQLuas juring OPQ = 360452221 213607173, 25 cm QORLuas juring OQR = 360602221 213607231 cmrrSSu u uuu u uuKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Pada suatu lingkaran dengan pusat Odiketahui titik A, B, C, dan D pada keli-ling lingkaran, sehingga AOB = 35odanCOD = 140o. Jika panjang pAB =14 cm, hitunglah panjang pCD.
153Lingkaran6. Hitunglah luas tembereng pada gambarberikut jika jari-jari lingkaran 14 cm.a.ABO b.60OCDO7.Pada gambar di sam-ping, panjang busurPQ = 50 cm, panjangbusur QR = 75 cm,dan besar POQ =45o. Hitunglah besarQOR.8.Pada gambar di sam-ping, besar POQ= 72o dan panjangjari-jari OP = 20 cm.Hitunglaha. panjang busur besar PQ;b. luas juring besar POQ.2.Pada gambar di sam-ping, luas juring OAB= 50 cm2. Hitunglaha. luas juring POQ;b. jari-jari lingkaran;c. luas lingkaran.3. Panjang jari-jari sebuah lingkarandiketahui 20 cm. Hitunglaha. panjang busur di hadapan sudut 30o;b. luas juring di hadapan sudut 45o.4.Pada gambar di sam-ping diketahui pan-jang OP = 28 cm danpPQ = 17,6 cm.Hitung luas juringPOQ.5. Hitunglah keliling dan luas bangunyang diarsir pada gambar berikut.45OABO6cm5cm(a)60OABO20cm(b)COPQR45oOPQ72o20 cmQPOD. SUDUT PUSA T DAN SUDUT KELILINGLINGKARAN1. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut KelilingPada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari bahwasudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpotongandi titik pusatnya. Adapun sudut keliling adalah sudut yang dibentukoleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada kelilinglingkaran.Pada Gambar 6.14 di samping, OA dan OB berpotongan diO membentuk sudut pusat, yaitu AOB. Adapun tali busur ACdan CB berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ACB.ABCOGambar 6.1475O60OABOPQ
154Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Sudut pusat AOB dan sudut keliling ACB menghadap busuryang sama, yaitu pAB. Sekarang, kita akan mempelajari hubunganantara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yangsama.Perhatikan Gambar 6.15.Lingkaran di samping berpusat di titik O dan mempunyai jari-jariOA = OB = OC = OD = r.Misalkan AOC = D dan COB = E, maka AOB = D + E.Perhatikan' BOD. BOD pelurus bagi BOC, sehingga BOD = 180o – E.' BOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga ODB = OBD = o180BOD2.KarenaBOD = 180o – ,E maka diperolehoo180(180)1ODBOBD.22EE Sekarang perhatikan ' AOD. AOD pelurus bagi AOC, sehingga AOD = 180o – D.' AOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga180AODODAOAD2180180212DDq q qDengan demikian, besar ADBODAODB1122121AOB atau2DEDE u besar AOB = 2 u besar ADB.Karena AOB adalah sudut pusat dan ADB adalah sudutkeliling, di mana keduanya menghadap pAB, maka dapatdisimpulkan sebagai berikut.Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang samamaka besar sudut pusat = 2 u besar sudut keliling.DEABCDOrGambar 6.15
155LingkaranPada lingkaran di atas, jika ACO = 15o danBCO = 12o, hitung besar AOB.ABCDOGambar 6.17ABCOGambar 6.16Penyelesaian: ACB merupakan sudut keliling dan AOB merupakansudut pusat, sehingga diperolehsudut keliling ACB= ACO + BCO= 15o + 12o= 27osudut pusat AOB= 2 u sudut keliling ACB= 2 u 27o= 54o2. Besar Sudut Keliling yang Menghadap DiameterLingkaranKalian telah mempelajari bahwa besar sudut pusat lingkaranadalah dua kali besar sudut kelilingnya, jika menghadap busur yangsama. Bagaimana besar sudut keliling yang menghadap diameterlingkaran?Perhatikan Gambar 6.17.Sudut pusat AOB menghadap busur AB. Perhatikan bahwa sudutkeliling ACB dan sudut keliling ADB menghadap busur AB,sehingga diperolehAOB 2ACB1802ACB180ACB902 uq uq qatauAOB 2ADB1802ADB180ADB902 uq uq qDari Gambar 6.16 tampak bahwa AOB adalah sudut lurus,sehingga besar AOB = 180o.Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaranbesarnya 90o (sudut siku-siku).
156Matematika Konsep dan Aplikasinya 2DiketahuiABC = 65odengan AB diameterlingkaran. Hitunglah besarCAB.Penyelesaian:Ruas garis AB adalah diameter lingkaran.KarenaACB adalah sudut keliling yang menghadap dia-meter AB, maka besar ACB = 90o.Perhatikan bahwa ' BCO adalah segitiga sama kaki,karena OB = OC = r, sehingga BCO = CBO = 65o.Dengan demikian diperolehACOACBBCO906525 q q qKarena'AOC sama kaki (OA = OC = r), makaCAO = ACO = 25o.3. Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang SamaUntuk menentukan besar sudut keliling yang menghadap busuryang sama, perhatikan Gambar 6.19 di samping.Pada gambar tersebut AOB adalah sudut pusat yang menghadappAB = D, sedangkan ACB,ADB, dan AEB adalah sudutkeliling yang menghadap pAB.11ACBAOB22D u11ADBAOB22D u11AEBAOB22D uJadi, besar ACB = ADB = AEB.Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang samaadalah sama besar atau 12u sudut pusatnya.65OABCOGambar 6.18DABCDEOGambar 6.19
157LingkaranPerhatikan Gambar 6.20.Diketahui besar BAC =50o dan CED = 60o.Hitunglah besar BDC,ACD, dan ABD.Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.Penyelesaian:Dari Gambar 6.20 tampak bahwa BAC dan BDCsudut keliling menghadap busur yang sama yaitu pBC,sehingga besar BDC = BAC = 50o.Perhatikan'CED.ACD = 180o – ( CED + CDE)= 180o – ( CED + CDB)= 180o – (60o + 50o)= 70oSudut ACD dan ABD adalah sudut keliling yangmenghadap busur yang sama yaitu pAD, sehingga besarABD = ACD = 70o.1. Pada gambar berikut, hitunglah nilai xdany.80OABCOxo25ODEFOxoyo (a) (b)xo35oyo (c)2.ABCDOPada gambar di atas diketahui besarACD = 20o. Hitunglah besara.BOC;b.AOC;c.BOD.60O50OABCDEOGambar 6.20
158Matematika Konsep dan Aplikasinya 23.ABOCDiketahui besar BCA = 25odan CBO = 15o. Hitunglah besara. AOB;c. ABC;b.OAB;d. BAC.4.Pada gambar disamping PR adalahdiameter lingkaran.Hitunglaha. nilai x;b. besar PRQ.5.55OACDODiketahui besar ADC = 55o. Hitunglahbesara.AOC;b. sudut refleks AOC;c.OAC dan ACD.6.TPQROSDiketahui besar PQR = 48o dan QRS = 101o. Hitunglah besara. PST;c. QTS.b. QPR;2xOxOPQROE. SEGI EMPAT TALI BUSUR (PENGAYAAN)1. Pengertian Segi Empat T ali BusurAgar kalian memahami mengenai segi empat tali busur,perhatikan Gambar 6.21. Pada gambar tersebut titik O adalah titikpusat lingkaran dan titik A, B, C, serta D terletak pada kelilinglingkaran tersebut. Ruas garis AB, BC, CD, dan AD adalah tali-tali busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut membentuk segi empatABCD, dan selanjutnya disebut segi empat tali busur.Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik-titik sudutnyaterletak pada lingkaran.2. Sifat-Sifat Segi Empat Tali BusurPerhatikan Gambar 6.22.Pada gambar tersebut tampak bahwa sudut-sudut yang berhadapanpada segi empat tali busur ABCD adalah ABC dengan ADCdan BAD dengan BCD.ABCODGambar 6.21
159LingkaranPerhatikan sudut keliling ABC dan ADC.1ABCAODDOC21ADCAOBBOC2 u u Dengan demikian diperoleh11ABCADCAODDOC22AOBBOC1AODDOCAOBBOC213602180 u u u uq qSekarang, perhatikan sudut keliling BAD dan BCD.1BADBOCCOD21BCDBOAAOD2 u u Dengan demikian, diperoleh11BADBCDBOCCOD22BOAAOD1BOCCODBOAAOD213602180 u u u uq qJadi, ABC + ADC = 180o dan BAD + BCD = 180o.Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat talibusur adalah 180o.Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.23.Pada gambar di samping, pQS adalah diameter lingkaransekaligus diagonal segi empat PQRS. Karena QPS dan QRSadalah sudut keliling, maka besar QPS = QRS = 90o. Segiempat PQRS selanjutnya disebut segi empat tali busur siku-siku.ADCOBGambar 6.22PSROQGambar 6.23
160Matematika Konsep dan Aplikasinya 2Segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakandiameter lingkaran disebut segi empat tali busur siku-siku.Perhatikan Gambar 6.24.Pada gambar tersebut, KM dan LN adalah diameterlingkaran, KLM dan KNM adalah sudut keliling yangmenghadap diameter KM, sedangkan LKN dan LMN adalahsudut keliling yang menghadap diameter LN.Dengan demikian, KLM = KNM = LKN = LMN= 90o. Karena keempat sudutnya siku-siku, akibatnyaKL // NM, KN // LM,KL = NM, dan KN = LM, dengan KMdanLN adalah diagonal-diagonal segi empat KLMN. Dengankata lain, segi empat KLMN adalah suatu persegi panjang.Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan di-ameter lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang.Selanjutnya, bagaimanakah jika kedua diagonal segi empattali busur merupakan diameter lingkaran dan saling berpotongantegak lurus? Bangun apakah yang terbentuk? Apakah terbentukbangun persegi panjang? Agar kalian dapat menjawabnya,perhatikan Gambar 6.25.Pada Gambar 6.25, AC dan BD adalah diameter lingkarandenganACBDA. Karena ABC, BCD, CDA, dan DAB adalah sudut-sudut keliling yang menghadap diameter,besar ABC = BCD = CDA = DAB = 90o.Sekarang, perhatikan ' BOC.Jika' BOC kita putar sejauh 90o berlawanan arah putaranjarum jam dengan titik O sebagai titik putar maka diperolehOBOC, OCOD, danBOCCODoo o.Dengan demikian, BCCDo atau BC CD.Analog dengan cara di atas, dapat ditunjukkan bahwaCDDAAB, sehingga BC CDDAAB. Dengan katalain, segi empat ABCD adalah bangun persegi.Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakandiameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akanmembentuk bangun persegi.NMLOKGambar 6.24BCDOAGambar 6.25
161LingkaranKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.1. Perhatikan gambar di bawah.ABCD adalah segiempat tali busur de-ngan ABC = 80odan ADC = 100o.Tentukana. besar BCD;b. besar BAD.2.FGHOE75oPerhatikan gambar di atas.a. Jika EOF = 75o, tentukan besarsudut yang lain.b. Apakah jenis ' FOG?c. Bangun apakah EFGH?3.PSROQ35oPerhatikan gambar di atas.DiketahuiPR dan QS adalah diameterlingkaran.a. Jika OPS = 35o, tentukan besarsudut yang lain.b. Bangun apakah PQRS?c. Sebutkan dua pasang segitiga padasegi empat PQRS yang sama dansebangun.OABDC4.KLMONDari gambar di atas, KLMN adalah segiempat tali busur dengan diagonal KMdanLN merupakan diameter lingkaranyang saling berpotongan tegak lurus.a. Tentukan besar semua sudut padasegi empat KLMN.b. Bangun apakah KLMN?c . Jika panjang jari-jari lingkaran adalahr, tentukan luas segi empat KLMN.5.CDAOBFEGHPerhatikan gambar di atas.Diketahui ABCD adalah segi empat talibusur dengan DCG, ADH, BAE,dan CBF adalah sudut luar segi empatABCD.a. Buktikan bahwa besar DCG = BAD.b. Jika ABC = 80o, tentukan besarsudut yang lain.
162Matematika Konsep dan Aplikasinya 2F. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR(PENGAYAAN)Dua tali busur dari sebuah lingkaran dapat berpotongan didalam lingkaran atau berpotongan di luar lingkaran padaperpanjangan kedua tali busur itu. Agar kalian lebih memahaminya,perhatikan Gambar 6.26 berikut.Pada Gambar 6.26 (a), tali busur AC dan BD berpotongandi dalam lingkaran, sedangkan Gambar 6.26 (b) menunjukkan talibusurDG dan EF berpotongan pada perpanjangan kedua talibusur itu di luar lingkaran.Pada bagian ini kita akan menentukan besar sudut antaradua tali busur yang berpotongan di dalam atau di luar lingkaran.1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan DiDalam LingkaranPerhatikan Gambar 6.27. Lingkaran dengan pusat di titik Odengan titik E adalah titik potong antara tali busur AC dan BD.Dari gambar tersebut tampak bahwa AEB, BEC, CED,dan AED adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk olehperpotongan antara tali busur AC dan BD.Dari gambar tersebut diperoleha. BDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC,sehingga 1BDC=BOC;2ub. ACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD,sehingga1ACD=AOD.2uPerhatikan bahwa BEC adalah sudut luar ' CDE, sehinggaoooBEC = 180CED180(180CDEECD)CDEECD CDAOBEGambar 6.27CDAOBEFGDOEHGambar 6.26(a) (b)
163LingkaranBDC+ ACD11BOCAOD221BOCAOD2 §·§· u u ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹ u Analog dengan cara di atas, maka diperoleh1AEBAOBCOD21CEDCODAOB21AEDAODBOC2 u u u Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalamlingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusatyang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.Gambar 6.28Pada gambar di atas, dike-tahui besar POQ = 60odan besar ROS = 230o.Tentukan besar PTQ.Penyelesaian:1PTQPOQROS2160130295 u u q q qQPRSOT2. Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan Di LuarLingkaranPerhatikan Gambar 6.29 berikut.Titik O adalah titik pusat lingkaran, sedangkan LK danMNadalah dua tali yang jika diperpanjang akan berpotongandi titik P, di mana titik P di luar lingkaran, sehingga terbentuk KPN.
164Matematika Konsep dan Aplikasinya 2NKLOMPGambar 6.29Gambar 6.30Perhatikan Gambar 6.30 diatas.Diketahui besar AED =25o dan besar BOC =35o. Tentukan besar AOD.ABCDEOPenyelesaian:1AEDAODBOC2125AOD 35250AOD 35AOD 85 u q u qq q qPerhatikan bahwa KMN adalah sudut keliling yangmenghadap busur KN, sehingga1KMN=KON2uSudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM,sehingga1MKL=MOL2uSudut MKL adalah sudut luar ' KPM, sehingga berlaku MKL = KMN + KPNatauKPNMKLKMN11MOLKON221MOLKON2 §·§· u u ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹ u Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luarlingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudutpusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kakisudut itu.
165LingkaranKerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.DACOB3.Perhatikan gambardi samping.Jika besar POQ =35o dan besar ROS = 50o, tentu-kan besar PTQdan QTR.4.Pada gambar di atas diketahui besar NOM = 30o dan KQL = 60o.Tentukana. besar KOL;b. besar KPL.PQOSR1.Perhatikan gambardi samping.Jika besar AOC =65o dan BOD =140o, tentukana. besar AEC;b. besar BEC.2.DGOEFHPada gambar di atas tali busur DE danGF berpotongan di titik H di luarlingkaran. Diketahui besar DOG =150o dan EOF = 40o.Tentukan besar DHG.OKNLMQP1. Perhatikan gambar di samping.a. Titik O disebut pusat lingkaran.b.OA,OB,OC,OD, dan OE disebut jari-jari lingkaran.c.BD disebut garis tengah atau diameter, yaitu garis yangmenghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melaluipusat lingkaran.d.AE disebut tali busur, yaitu garis yang menghubungkandua titik pada keliling lingkaran.e. Garis lengkung AFE disebut busur kecil (pendek), yaitu bu-sur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.f. Garis lengkung ACE disebut busur besar (panjang), yaitubusur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran.ABCDEFOG
166Matematika Konsep dan Aplikasinya 2g. Daerah yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busurBC disebut sektor atau juring lingkaran.h. Daerah yang dibatasi oleh tali busur AE dan busur AFEdisebut tembereng.i.OGA tali busur AE disebut apotema, yaitu jarak ter-pendek antara tali busur dan pusat lingkaran.2. Nilai S merupakan suatu pendekatan. Besar nilai S adalah3,14 atau 227.3. Rumus keliling lingkaran (K) dengan diameter (d) dan jari-jari(r) sebagai berikut.KSd atauK2Sr4. Rumus luas lingkaran (L) dengan diameter (d) dan jari-jari (r)sebagai berikut.2LSr atau21L4Sd5. Dari gambar di samping berlaku sebagai berikut.Besar sudut pusat AOBBesar sudut satu putaran penuhPanjang busur ABLuas juring OABKeliling lingkaranLuas lingkaran6.besar sudut pusatPanjang busur2.360Suqr2besar sudut pusatLuas juring.360SuqrLuas tembereng = luas juring – luas segitiga.Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah pahammengenaiLingkaran? Jika kalian sudah paham, coba rangkumkembali materi ini dengan kata-katamu sendiri. Jika ada materiyang belum kamu pahami, tanyakan pada temanmu yang lebihtahu atau kepada gurumu. Berikan contoh masalah dalamkehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan lingkaran, kemudianselesaikanlah. Buatlah laporan dan kemukakan hal ini secarasingkat di depan kelas.OAB
167LingkaranKerjakan di buku tugasmu.A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.1.Apotema ditunjuk-kan oleh garis ....a. OAb. ACc. OEd. BO2. Suatu roda berdiameter 63 cm ber-putar menempuh jarak 198 m. Rodatersebut berputar sebanyak ....a. 60 kalic. 100 kalib. 75 kalid. 110 kali3.Jika AB = 14 cmmaka luas daeraharsiran pada gam-bar di samping ada-lah ....a. 56 cm2c. 112 cm2b. 88 cm2d. 176 cm24.Pada gambar disamping besar AOB = 120o dan COD = 30o. Jikapanjang busur AB= 44 cm maka pan-jang busur CD ada-lah ....a. 5,5 cmc. 9 cmb. 7 cmd. 11 cm5.ABO5cmCJika jari-jari lingkaran di atas 5 cm danpanjang tali busur AB = 6 cm makapanjang apotema OC adalah ....a. 3 cmc. 4 cmb. 3,5 cmd. 4,5 cm6.Pada gambar disamping, luas juringOPQ = 19,25 cm2dan luas juring ORS= 51,33 cm2. Jikabesar POQ =45o maka besar ROS adalah ....a . 90oc . 135ob. 120od. 150o7.Perhatikan gambardi samping. JikabesarAOB =45o, panjang OB =14 cm, dan OC =CB, luas daerahyang diarsir adalah....a. 55,57 cm2c. 57,57 cm2b. 55,77 cm2d. 57,75 cm28.20o70oPQRSOPerhatikan gambar di atas.PR adalah garis tengah lingkarandengan titik pusat O. Jika RPQ =70o dan PRS = 20o, besar PRQdan RPS berturut-turut adalah ....a. 90o dan 20oc. 20o dan 70ob. 20o dan 90od. 10o dan 80oABCDABCEDO30o120oABCD45oABCDO14cm45oSPQRO
168Matematika Konsep dan Aplikasinya 2a . 17oc . 51ob. 34od. 68o10. Suatu taman bunga berbentuk lingkar-an dengan luas 1.386 m2. Di sekelilingtaman itu setiap 4 meter ditanamipohon cemara. Banyak pohon cemarayang dapat ditanam adalah ....a. 22 buahc. 44 buahb. 33 buahd. 55 buah9. p2px51oABCDEJika ACD = 2po, BDC = po, dan BEC = 51o, besar ABD = ....B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.a. perbandingan luas lingkaran kecildan lingkaran besar;b. selisih luas lingkaran kecil danlingkaran besar;c. perbandingan keliling lingkarankecil dan lingkaran besar;d. selisih keliling lingkaran kecil danlingkaran besar.4.30oQPRSOPerhatikan gambar di atas.Jika besar PQR = PRQ makatentukan besara.QOR;d.RSO;b.QPR;e.QRS.c.ROS;5. Sebuah pesawat supersonik mempu-nyai kecepatan 7.850 km/jam danberedar mengelilingi bumi dalam satuputaran penuh selama 8 jam. Jika lin-tasannya berbentuk lingkaran dan jari-jari bumi adalah 6.400 km, tentukana. panjang lintasan pesawat tersebut;b. jarak pesawat ke pusat bumi;c. tinggi lintasan pesawat dari per-mukaan bumi.1.Tentukan kelilingdan luas daerahyang diarsir padagambar di samping.2.ABCDOPada lingkaran di atas panjangpAB= 10 cm dan pBC = 25 cm.Jika BDC = 27,5o, tentukana. besar AOB;b. luas juring OAB;c. luas juring OBC;d. luas juring besar OAC.3.ABCDETiga buah lingkaran saling bersing-gungan seperti tampak pada gambardi atas. Jika AC = CD = DE = EB =3 cm, tentukan14 cm28 cm